АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ
ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(Перспективные преобразования)
А. С. Кованько (Ленинград)
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ВЫВОДЫ
Вопрос о построении изображений предметов в их проекции на
плоскость полностью разрешен методами начертательной геометрии.
В настоящей работе мы даем аналитическое решение этой задачи.
Остановимся на методе центральной проекции (или перспективы)
и исследуем его с точки зрения анали-
аналитической геометрии.
Возьмем точку М в качестве центра
проектирования; МО = 8 (фиг. 1).
Любая точка N (х, у, z) преобра-
преобразуется в точку Р (X, Y) проектирова-
проектированием ее из точки М (О, О, 8). Точку М
мы для простоты выбрали на оси OZ.
Рассмотрим соответствие между ко-
координатами точек N и Р. Уравнение
прямой, проходящей через М и N, на-
напишется так:
у \г 7 А
х у г — в Фиг. 1.
где X, Y, Z — текущие координаты прямой. Пересечение этой пря-
прямой с плоскостью XOY и определяет положение точки Р. Ее коор-
динаты получаем, полагая в уравнении A) Z=0, тогда находим:
X = •-J
; v = - У
Это — основные формулы перспективного преобразования. Рассмот-
Рассмотрим пучок параллельных между собой прямых:
х = at -f m;
C)
а, C, у — данные нам величины, m, n, p — произвольные постоянные
семейства.
В перспективе этот пучок представится так:
D)
где р = —j, o = —¦—, т. е. мы имеем пучок прямых, проходя-
проходящих через точку (— — , — — Л. Это есть точка схода для данного
пучка параллельных между собой прямых.
Итак, мы имеем основную теорему теории перспективы: Все
параллельные пучки прямых в пространстве дают в изображении
у на плоскости пучок прямых, проходящих
через одну точку.
II. МЕТОД ПЕРСПЕКТИВНЫХ ПОСТРОЕНИЙ
Пользуясь аналитической формулой
построения изображений точек в пер-
перспективе, мы можем указать весьма про-
простой геометрический способ их построе-
построения (обычный способ).
Пусть требуется построить изображе-
изображение точки (х, у, z). Мы берем в плос-
плоскости чертежа систему координат ХОУ,
причем ось ОХ выбираем горизонтально
(это — линия горизонта) (фиг. 2). Соеди-
Соединим точку А (— х, — у) с точкой О (О, 0, 0)
(точка схода). Уравнение полученной прямой есть
фир- 2.
х
Y
Т
E)
Затем соединим точку NB8— (х + 2),—у) с точкой С (Ь, 0).

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДИАГРАММЫ 4?
Уравнение полученной прямой будет
х — 6 У
F)
о — (x -f z) у
Совершенно ясно, что точка пересечения прямых E) и F) есть точка
т. е. наша искомая точка.